CARDINALIDAD

ACTIVIDAD 1
Demuestre que los números racionales son un conjunto numerable (X₀)
Un numero racional es todo aquel que puede ser escrito de la forma:
racional = a/b : siendo a y b números enteros.
La tabla de Cantor es sencilla, el numerador aumenta columna a columna desde 1 hasta aleph_0 y el denominador fila a fila de 1 a aleph_0, de esta forma todos los números racionales son cubiertos por la tabla, y por tanto son contables, se les puede asociar uno a uno un elemento de los enteros.


La tabla:

Y el conteo:
0    2    5    9    14   20   27   35   44   ...
1    4    8    13   19   26   34   43   53   ...
3    7    12   18   25   33   42   52   ... 
6    11   17   24   32   41   51   ...
10   16   23   31   40   50   ...
15   22   30   39   49   ...
21   29   38   48   ...
28   37   47   ...
36   46   ...
45   ...
…  .
La diagonalización de Cantor, es una prueba matemática vislumbrada para demostrar que los números reales no son contables.                                                                                                                                      Esta demostración de la imposibilidad de contar los números reales no fue la primera, pero sí la más sencilla y elegante.

ACTIVIDAD 2
Dmuestre que el conjunto de los reales es no numerable.  (No tiene X₀)

Números reales.                                                                                                                                        La prueba original de Cantor muestra que el intervalo [0,1] no es numerable. Se extiende a todos los reales, ya que es posible equipotenciar estos al intervalo.

La demostración es por reducción al absurdo.

• Suponemos que el intervalo [0,1] es infinito numerable.
• Podríamos elaborar una secuencia de los números, ( r₁, r₂, r₃,... )
• Sabemos que los reales entre 0 y 1 pueden ser representados solamente escribiendo sus decimales.
• Colocamos los números en la lista (no necesariamente en orden). Considerando los decimales periódicos, como 0.499... = 0.500..., como los que tienen infinitos nueves.

La secuencia q

r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6...

r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...

r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...

r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...

...

Ahí tenemos todos los números reales entre 0 y 1. Vamos a construir un número x que debería estar en la lista. Para eso usamos los números de la diagonal.

r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0...

r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...

r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6...

r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6...

r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...

r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...

r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...

...

• El número x está definido así: al dígito x_k le corresponde el k-ésimo dígito de r_k + 1 (si fuera un nueve, le asignó el cero)

Entonces x= 0.6251346.... El número x es claramente un real. Pero.. ¿Dónde está x ?
Si yo quisiera decir que x está en el n-ésimo lugar de mi lista, no sería cierto, ya que el elemento n-ésimo dígito de r_n es distinto al de x.

• Entonces esta no es una lista completa de los reales en el intervalo [0,1].
• Existe una contradicción, por suponer que estos números son infinitos numerables.

Podemos formar un nuevo número de tal forma que el primer dígito sea diferente del primer dígito del primer número; el segundo dígito, diferente del segundo dígito del segundo número; el tercer dígito, diferente del tercer dígito del tercer número, etc. De esa forma construimos un número que no figura en la lista, porque es diferente del primero, del segundo, del tercero,.., pero que es parte de los números entre 0 y 1. Esta situación surge al suponer que se pueden poner en relación “uno a uno″ con los naturales, por lo que debemos concluir que tal relación es imposible. Se deduce entonces que los números del intervalo (0,1),  y en general los números reales, son más numerosos que los naturales.