DEMUESTRE QUE RAIZ DE DOS NO ES RACIONAL

DEMOSTRAR QUE LA RAIZ DE 2 ES UN NUMERO NO RACIONAL.
Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción de números enteros. Los hay de cuatro tipos:

1) ENTEROS: Cualquier número entero se puede poner en forma de fracción y  la misma unidad:    

5,  -2,  2900,  0…

2) DECIMAL EXACTO: o sea que tiene un número finito de decimales:                               

2.4,  1.25,  10.381…

3) DECIMAL PERIÓDICO PURO: o sea con infinitas cifras decimales que se repiten indefinidamente:       

2.34343434,   0.77777777

4) DECIMAL PERIÓDICO MIXTO: O sea que tiene infinitas cifras decimales periódicas, pero tiene algunas, justo detrás de la coma que no se repiten.

7.3548282828282,  0.3452323232323

Y ya no hay más, cualquier número racional tiene una de estas cuatro formas.

Vamos ahora a demostrar que el numero  no es racional, o sea que no existe ninguna fracción de números enteros que de cómo resultado

Hay que tener en cuenta que a los números reales no racionales se les llama irracionales, y es el caso de

DEMOSTRACION.

El método que vamos a utilizar para demostrar es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.   

1. En este caso la hipótesis que vamos a suponer que raíz de dos es racional, o sea que existe una fracción que es igual a raíz de dos. Dicha fracción la suponemos en su minima expresión, ósea que es irreducible.
 osea que a/b = raiz de dos



2. Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad: a cuadrada entre b cuadrada es igual a 2
                                             
3. Despejamos a² pasando b² multiplicando al 2 quedando: 2b² = a²
4. Esta expresión nos dice que como  a²  es el doble de   b  cuadrada,  a²   es par y  por esa igualdad si un número al cuadrado es par, entonces ese número también será par por tanto  a  es par.
5. Si  a  es par será igual al doble de otro numero por tanto  a = 2n,  y si elevamos al cuadrado los dos miembros nos queda  a² = (2n)²  que realizando esta operación nos queda  a² = 4n^2.
6. Vamos a sustituir el anterior valor de  a  obtenido  (a² = 4n²)  en la anterior igualdad: 2b² = a²  y nos quedara  2b² = 4n²  podemos simplificar esta igualdad dividiendo los dos miembros y nos queda  b² = 2n²  Eso quiere decir que b² también tiene que ser par, y por tanto b también es par.
Por lo cual tenemos que  a  es par y que  b  es par, esto esta en contradicción que la fracción era irreducible, ya hemos llegado al absurdo. Por lo tanto la raíz cuadrada de dos no es racional, ósea que es irracional.